本原多项式优质

概括：这道题是红渤铰同学的课后数学练习题，主要是关于本原多项式，指导老师为广老师。

题目：本原多项式

设f(x)是一个整系数多项式, 若f(x)的系数的公因子只有±1, 则称f(x)是一个本原多项式.

举一反三

例1： 【什么叫本原多项式?】[数学练习题]

一个n次不可约多项式,如果只能整除1＋Z^2^n-1而不能整除其它1＋Z^L(L

例2： F2上5次本原多项式是哪六个?[数学练习题]

GF(32)是GF(2)的5次扩张,乘法群是31阶循环群.

31是质数,故乘法群中除1以外都是乘法群生成元,即原根.

它们在GF(2)上的极小多项式就是GF(2)上的5次本原多项式.

每个5次本原多项式有5个互为共轭的根,因此共有6个5次本原多项式.

实际上,GF(2)上的5次不可约多项式都是本原多项式.

设f(x)是GF(2)上的5次不可约多项式,则f(x)的根都包含于GF(2)的5次扩张,即在GF(32)中.

又f(x)不可约,故0,1不是f(x)的根,f(x)的根都是GF(32)中的原根.

此外f(x)的首项系数只能为1,因此f(x)是GF(2)上的5次本原多项式.

于是,我们只需找GF(2)上的5次不可约多项式.

不难确定GF(2)上的1次不可约多项式只有:x,x+1;

2次不可约多项式只有x^2+x+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0,1都不是根);

3次不可约多项式只有x^3+x+1,x^3+x^2+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0,1都不是根).

5次多项式f(x)不被x整除当且仅当其常数项非零.

可设f(x) = x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1,其中a,b,c,d为0或1.

f(x)被x+1整除当且仅当f(1) = 0,即a+b+c+d = 0.

因此当且仅当a,b,c,d中1的个数为1或3时,f(x)没有1次因子.

此时f(x)若可约,只能为2次不可约多项式与3次不可约多项式的乘积,即:

f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x+1) = x^5+x^4+1或f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x^2+1) = x^5+x+1.

除了上述2个多项式之外,其它没有1次因子的5次多项式都是不可约的:

x^5+x^2+1,x^5+x^3+1,x^5+x^3+x^2+x+1,x^5+x^4+x^2+x+1,x^5+x^4+x^3+x+1,x^5+x^4+x^3+x^2+1.

这6个多项式即GF(2)上的全体5次不可约多项式,也即全体5次本原多项式.

例3： 6次本原多项式有哪些6次本原多项式除了x^6+x+1之外,还有哪些[数学练习题]

(1) 首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数.

(2) 求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数,构成一个集合〔Si〕,并重新排序,使〔Si〕中元素从小到大排列.　　(3) 排除〔Si〕中不适合的数

* 排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）

* 排除〔Si〕中所有同宗的数.即从〔Si〕中从后到前搜索,每取一个数即做2K×Si,直到大于2n－1,然后减去2n－1,用差值在〔Si〕中向前搜索,如果有相同的数则将Si排除,否则保留.再取Si－1按同样过程做一遍,直到S0．

* 排除〔Si〕中有倍数关系的数.即从〔Si〕中从后到前搜索,每取一数即向前查询一遍,最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数,其个数一定为λ(n)-1.

(4) 根据已知的一个n级本原多项式,为其设置初始状态000…01（n个）,求出其M序列｛Ai｝（长度为2n－1）.

(5) 依次从Si中取出本原抽样数,每取出一个抽样数Si,即可求出一个本原多项式：

以Si对｛Ai｝进行抽样,就可产生长度为2n－1的另一M序列｛Si｝,在｛Si｝中找到形如000…01（n位）的序列段｛Mi｝,并提取包括｛Mi｝为前n项的2n长度的序列：

Am+0,Am+1,…,Am+n-1,

0 0 … 1

Am+n,Am+n+1,…Am+2n-1

X X … X

欲确定的Ci可用下列方程组确定;

C1＝Am+n

C2＝Am+n+1+C1Am+n

C3＝Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n

例4： 怎样求本原多项式?比如x^15+1怎样分解成(x^4+x+1)*(x^4+x^3+1)*（x^4+x^3+x^2+x+1)*(x^2+x+1)*(x+1)跪忘记说了，是按模二加法分解的！[数学练习题]

您这个因式分解有问题啊………………我觉得就是把x^15+1看成(x^5)^3+1,这样用立方和公式分解后,再用大除法什么的就OK了.

例5： 【n次本原单位根什么意思?】[数学练习题]

如果n个n次单位根可由一个n次单位根的各次乘幂——由1次到n次得到,就称这个n次单位根是一个n次本原单位根.例如,在四次单位根i,-1,-i,1中,i和-i是四次本原单位根,-1和1不是一般地,在n次单位根中, 总是一个n次本原单位根.

望采纳

相关思考练习题：

题1：本原多项式的介绍

点拨：本原多项式的定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。

题2：什么是多项式??

点拨：在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。 扩展资料： 多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。 基本定理 代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个...

题3：什么是本原多项式

点拨：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式

题4：本原多项式一定是不可约多项式；不可约多项式一定...

点拨：在复数域上只有一次多项式才是不可约的，而在实数域上不可约多项式只有一次和某些二次的。 本原多项式是系数均互素的非零整系数多项式。它们是的定义本身是没有交叉的。 从定义推测，不可约不一定本原，而本原同样未必不可约。

题5：本原多项式的和是本原多项式吗

点拨：不一定 自己举个反例就行了