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无理数的定义

无理数的定义和性质

无理数和有理数的定义

　　有理数：有理数分为正有理数,负有理数,0.有理数都可以化为小数,其中整数可以看作小数点后面是零的小数,只要是无限循环小数的都叫有理数.如：3.12121212121212……
　　无理数：无限不循环小数.无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653……

无理数的定义和概念

无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。 实数（real munber)分为有理数和无理数(irrational number) 有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。 包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 拓展资料:无理数应满足三个条件： ①是小数； ②是无限小数； ③不循环．圆周率π=3.141592653……

什么是无理数及其定义是什么

无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 定义： 在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。 无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、 √2等。 扩展资料历史： 传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明√2无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。 后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。 无理数集： 无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

什么叫做无理数

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。 扩展资料 无理数的发现：伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少。是整数呢，还是分数。 毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数。世界上除了整数和分数以外还有没有别的数。这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数。 从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数，当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。 参考资料来源：百度百科-无理数 参考资料来源：百度百科-希伯斯

无理数的概念

无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如7/22等。
实数（real nunber)分为有理数和无理数(irrational number)。
·无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2)
即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。
[编辑本段]由来
毕达哥拉斯 （Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间），从小就很聪明，一次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这孩子有数学才能，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪，大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”
“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”
“那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？”
“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”
这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”
这个提问的学者叫希帕索斯（Hippasus)，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：
“如果直边是3，斜边是几？”
“4。”
“再准确些？”
“4.2。”
“再准确些？”
“4.24。”
“再准确些呢？”
大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10位、20位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”“打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海滨又显得那样宁静了。
一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是3.1415926535897932384626……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
[编辑本段]教训与反思
科学不等于圣洁。科学家不等于道德高尚。这样的教训古今都有。公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟(Hippasus)发现无理数，却被老师处死。
历史的教训在于给人类以教益。科学完全走出政治强权的阴影，完全走出李森科之流的阴影，这在今天仍然是人类的一项艰巨的任务。控制论的创立者诺伯特·维纳的话提供了这一事件的反思：“科学是一种生活方式，它只在人们具有信仰自由的时候才能繁荣起来。基于外界的命令而被迫去遵从的信仰并不是什么信仰，基于这种假信仰而建立起来的社会必然会由于瘫痪而导致灭亡，因为在这样的社会里，科学没有健康生长的基础。”
事实上，科学的存在和发展中一个永恒的问题是标准与创新的矛盾。一方面，科学知识的出现必然形成相关的评判正误的标准，另一方面，科学知识出现的过程就是对原有标准突破的过程，因此也必然受到原有标准的限制或压制。这就需要我们更深刻地反思两种科学的悲剧：一种是推行错误的标准所导致的后果；另一种是肆意创新所带来的人道主义灾难。聂文涛面向基层医院适宜技术培训讲演中说：人类推行糖尿病“限制碳水化合物”饮食标准（John rollo标准），到重新执行“高碳水化合物”标准（如北京协和医院标准），这期间无数患者因为错误的糖尿病饮食治疗进一步丧失了健康。医学界要如何面对这样的情况？该讲演引发的强烈震动，正在于他提出了一个深刻的科学伦理问题。
斯蒂芬·茨威格在《异端的权利》原文中的两段话：“（卡斯特里奥与加尔文）在这场战争中，存在着一个范围大得多并且是永恒的生死攸关的问题。”“每一个国家，每一个时代，每一个有思想的人，都不得不多次确定自由和权力间的界标。因为，如果缺乏权力，自由就会退化为放纵，混乱随之发生；另一方面，除非济以自由，权力就会成为暴政。”这两段话隐藏着这样的意思：（1）应该给所有持异端见解的人证明自己的权利，或者说一切反对异端见解的人必须提供证据；（2）所有持异端见解的人都需要证明自己的正确，而无需在此之前抱怨社会的不理解。（3）所谓科学发展的意义，正在于改变人类原有的认识。因此，选择错误是一种权利，否则就没有科学探索的合理性。
[编辑本段]不知是否无理数的数
欧拉-马歇罗尼常数 γ 是否无理数。

答案是B 我做过！

无理数的概念是什么

无理数编辑[wú lǐ shù] 无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。定义编辑无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。[1] 简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如22/7等。例如：π

无理数的概念或者定义是什么啊?详解。。

即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

无理数的定义

非有 理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小 数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理 数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。 无理数是无限不循环小数。如圆周率π、e

无理数的定义

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯将无理数透露给外人因而被处死，其罪名等同于“渎神”。无理数与非零有理数的和、差、积、商为无理数。

无理数的定义

无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2（根号2）等。 　　有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。 　　实数（real number)分为有理数和无理数(irrational number)。 　　有理数可分为整数和分数 　　也可分为正有理数，0，负有理数。 　　除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数， 　　比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。 　　2、无理数不能写成两整数之比，举例不对，1分之根号2，根号2本身就不是整数。 　　利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。 　　证明：假设√2不是无理数，而是有理数。 　　既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： 　　√2=p/q 　　又由于p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。 　　把 √2=p/q 两边平方 　　得 2=(p^2)/(q^2) 　　即 2(q^2)=p^2 　　由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 　　由 2(q^2)=4(m^2) 　　得 q^2=2m^2 　　同理q必然也为偶数，设q=2n 　　既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。 　　1.判断a√b是否无理数（a，b是整数） 　　若a√b是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： 　　a√b=c/d（c/d是最简分数) 　　两边a次方得b=c^a/d^a 即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整数倍，设c^a=b^n*p 同理b*(d^a) 必然也为b的整数倍，设b*(d^a)=b*(b^m*q). 其中p和q都不是b的整数倍 　　左边b的因子数是a的倍数，要想等式成立，右边b的因子数必是a的倍数，推出当且仅当b是完全a次方数，a√b才是有理数，否则为无理数。

什么叫做有理数和无理数？？？

有理数：通常我们把能够写成分数形式称为有理数。有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。0也是有理数，整数和分数统称有理数，整数也可看做是分母为一的分数。比如4=4.0, 4/5=0.8,。 无理数：不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。如圆周率、√2(根号 2)，1/3=0.33333…… 扩展资料：实数（real munber)分为有理数和无理数(irrational number)。 有理数分为整数和分数 整数又分为正整数、负整数和0 分数又分为正分数、负分数 正整数和0又被称为自然数 参考资料：百度百科——有理数

什么叫有理数，什么叫无理数

有理数：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。 无理数：不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。 扩展资料有理数、无理数都可以用数轴上的点表示出来。 实数由有理数和无理数组成，其中无理数就是无限不循环小数。如果数轴的计量长度单位一定，就是说0到1的长短一定，那么所有的单位都是均匀的、一定的。 例如：√2是无理数。用圆规可以量出边长为1的正方形对角线的长度，然后以0点为圆心，可以在数轴两侧，左右画弧，交数轴于两个点，一个是-√2，一个是+√2。

什么是无理数

无理数的发现



在人们对数的认识过程中，首先接触到的是自然数1，2，3……。这些数可用于数离散对象的个数。但在实际生活中有些对象不能简单地用数的方法来度量。比如长度，只能通过测量的方法来进行。在测量一个物体的长度时，是将它的长度与所取的单位长度进行比较，其结果可能会出现分数。我们定义有理数为两个整数之比，其中q≠0，就是这个道理。

有理数有一种简单的几何解释。在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。因此，每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。起初人们认为，这些有理数的对应点充满了整条直线（如图1）



但是，古希腊的毕达哥拉斯学派的人发现了直线上还存在着不与任何有理数相对应的点。特别是他发现了这样的一点P，使得OP的长度恰好等于以单位长度1为边长的正方形的对角线的长度（如图2）。后来，他们又发现了更多这样的点，它们也都不对应于任何有理数。因此，只有发明一些新的数来与这样的点对应，但这些数又不可能是有理数，所以把它们称为无理数。实际上，有理数和无理数的英文原名为“rational number”和“irrational number”,把它们叫做“比数”和“非比数”可能更为恰当，也更能体现它们本身的性质。

根据勾股定理，边长为1的正方形其对角线长度。毕达哥拉斯学派是用下面的方法来证明是无理数的：

假设是有理数，即=，其中p和q是互素的整数，于是

p=q

两边平方得：

P2=2q2

于是P2是一个整数的2倍，所以P2必须是偶数，从而a也必须是偶数。令p=2r，这时上面最后一个等式就变成

4 r2=2 q2

即

2 r2= q2

由此可知，q2是偶数，从而p与q均为偶数，这与我们的假设p与q互素相矛盾。因此是有理数的假设不成立，也就是说是无理数。

在毕达哥斯学派之后，施乐尼的泰奥多勒斯（Theodorus,约公元前425年）又证明了、、、、、、、、、、、也是无理数。泰奥多勒斯的构造方法如下图3：

毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”。他们认为的数，就是比数或者有理数，突然间冒出来他们无法处理的非比数或者无理数，引起了毕达哥拉斯学派的极大震惊和恐慌，这对于基于整数或整数比的毕氏学派哲学来说，简直是一次致命的打击。





另外，作为非比数的无理数，也很难被人们的直观感觉所接受。受。通常人们以为，如果给定两条线段，必定能够找出第三条线段，使得给定的两条线段都包含这个线段的整数倍。也就是说，人们从直觉上相信，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。毕氏学派关于比例理论的所有结论都建立在可通约量之上。作为非比数的无理数的发现，实际上是发现了不可通约量或称不可公度比。发现了无理数的毕达哥拉斯学派。为了掩饰这～发现与他们的信条之间的矛盾，在很长一段时间，他们费了很大精力保守这个秘密，不准外传。据说，毕氏学派的一个成员希帕苏斯（Hippasus）把这个秘密泄露了出去，结果竟然被该学派的忠实信徒们扔进了大海；另外一个说法是他被开除出学派，别人把他当成死人，还为他立了一块墓碑。

关于有理数（比数）和无理数（非比数）的问题，也就是不可公度比以及一切量的比例问题，直到大约公元前37O年，由古希腊数学家欧多克索通过给比例下新的定义的办法解决了。他的处理不可公度比的方法，后来出现在欧几里得的《几何原本》中，并且与无理数的现代解释是基本一致的。但是，古希腊人仍然对无理数存有戒心。他们在算术、代数里坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的 发展不平衡，向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代 数蓬勃发展形成了鲜明的对照。



最后，我们留一个关于不可公度比的问题请读者思考：证明正五边形ABCDE中（如图4），边长a与对角线b之比是一个“非比数”。

提示：如图，b=a+r1, a=r1+r2, r1=r2+r3,…r1k-1=rk+rk+1…,如此永远继续下去，永无止境！

无理数的定义和概念

无理数的定义和性质

无理数的概念

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

无理数和有理数的概念

有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数． 　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数． 　　整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数． 　　无理数指无限不循环小数 如：π 　　·无理数与有理数的区别： 　　1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数, 　　比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数. 　　2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。 　　利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。 　　证明：假设√2不是无理数，而是有理数。 　　既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： 　　√2=p/q 　　又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。 　　把 √2=p/q 两边平方 　　得 2=(p^2)/(q^2) 　　即 2(q^2)=p^2 　　由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 　　由 2(q^2)=4(m^2) 　　得 q^2=2m^2 　　同理q必然也为偶数，设q=2n 　　既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

无理数的定义

无理数：就是无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653……

无理数的定义

无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数。 如圆周率、2的平方根等。 实数（real munber)分为有理数和无理数(irrational number) 有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，通常写作 a/b。 包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 拓展资料:无理数应满足三个条件： ①是小数； ②是无限小数； ③不循环．圆周率π=3.141592653……

初中数学中，无理数的定义是什么

1.无限小数都是无理数无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.无理数包括正无理数、负无理数和零受定势思维的影响，有些同学错误地认为正无理数和负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数.因此，无理数只分为正无理数和负无理数.
3.带根号的数是无理数/4是有理数2，/3－8是有理数－2，可见带根号的数不一定都是无理数，如/2、/3、/32、/33…是无理数，它们有一个共同的特点：开方开不尽.
4.无理数是用根号表示的数π是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），也是不带根号的无理数.
5.无理数是开方开不尽的数无理数并非是由开方的结果来定义的，事实上，如0.232232223…等无理数，都不是由开方得到的.

什么叫无理数

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。 常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。 可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。 无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、等。 而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。